Vectores

Vectores#

$ \newcommand{\bra}[1]{\langle #1|} $ $ \newcommand{\ket}[1]{|#1\rangle} $ $ \newcommand{\braket}[2]{\langle #1|#2\rangle} $ $ \newcommand{\i}{{\color{blue} i}} $ $ \newcommand{\Hil}{{\cal H}} $ $ \newcommand{\Lin}{\hbox{Lin}} $ $ \newcommand{\R}{{\mathbb R}} $ $ \newcommand{\C}{{\mathbb C}} $ $ \newcommand{\V}{{ V}} $

Espacio Vectorial Complejo#

Definición#

De forma poco rigurosa, definiremos un vector de dimensión $N$ como una columna de $N$ números complejos

\[\begin{split} |u\rangle = \begin{pmatrix} {u_1}\\ {u_2}\\ \vdots \\ {u_N} \end{pmatrix} \end{split}\]

El símbolo $\ket{u}$ representa al vector y se denomina ket en la notación de Dirac
Los números complejos $u_i \in {\mathbb C}$ con $\, i=1,...,N$ se denominan componentes del vector $\ket{u}$ (en una base dada).

Definición: Espacio Vectorial

La colección de todos los posibles vectores de $N$ componentes, con las propiedades de suma y multiplicación forman un espacio vectorial, $\V$ de dimension compleja $N$

Es decir, en un espacio vectorial tenemos dos operaciones posibles:

Sumar dos vectores

\[\begin{split} |u\rangle + \ket{v}~ =~\, \begin{pmatrix} {u_1}+v_1\\ {u_2}+v_2\\ \vdots \\ {u_N}+v_n \end{pmatrix} ~= ~ \begin{pmatrix} w_1\\ w_2\\ \vdots \\ w_n \end{pmatrix} ~=~\ket{w} \end{split}\]

Multiplicar un vector por número complejo $\lambda\in {\mathbb C}$

\[\begin{split} \lambda|u\rangle ~ =~ \begin{pmatrix} {\lambda u_1}\\ {\lambda u_2}\\ \vdots \\ {\lambda u_N} \end{pmatrix} ~\equiv~\ket{\lambda u} \end{split}\]

Todo vector de $V$ se denota mediante el símbolo $\ket{v}$ menos uno, el elemento neutro que se escribe como $0$.

La existencia de un elemento opuesto y de un elemento neutro es una de las propiedades que definen un espacio vectorial

\[\begin{eqnarray*} \ket{v} + 0 &=& \ket{v} \nonumber\\ \ket{v} + \ket{\hbox{-}v} &=& \ket{v}-\ket{v} = 0 \nonumber\\ \end{eqnarray*}\]

'generamos un ket definiendo un array'
uket=np.array([[1 + 1.j],[2-3*1.j]])
 
    
'qiskit tiene un visualizador para vectores y matrices que es muy bueno'
from qiskit.visualization import array_to_latex

display(array_to_latex(uket, prefix =  r'|u \rangle ='))
Statevector(uket).draw('latex')

\[\begin{split} |u \rangle = \begin{bmatrix} 1 + i \\ 2 - 3 i \\ \end{bmatrix} \end{split}\]

\[(1 + i) |0\rangle+(2 - 3 i) |1\rangle\]

Conjugación adjunta#

En el capítulo de Números Complejos estudiamos la operación de conjugación compleja que asigna a cada número $z = x+iy$ otro $\bar z = x-iy$ con la parte imaginaria reflejada.

La extensión de la conjugación compleja $^*$ de ${\mathbb C}$ a todos los elementos de $\Hil$ se denomina conjugación adjunta $\dagger$,

Asociado a cada ket $\ket{u}$, definimos un vector adjunto, o bra $\bra{u}\equiv\left(\ket{u}\right)^\dagger$, que representamos mediante un vector fila con las componentes conjugadas complejas

\[\begin{split} \dagger \,: \quad\,|u\rangle = \begin{pmatrix} {u_1}\\ {u_2}\\ \vdots \\ {u_N} \end{pmatrix} ~~~~~{\rightarrow}~~~~~~ \left(\ket{u}\right)^\dagger \equiv \bra{u} =\big( {u_1^*} ~~~ {u_2^*} ~~~ \cdots ~~~ {u_N^*} \big) \end{split}\]

Consistentemente encontramos para el producto de un vector por un número complejo $\lambda$

\[ \dagger \,:\quad\, \lambda\ket{u}=\ket{\lambda u} ~~~~~{\rightarrow}~~~~~~ \left(\lambda\ket{u}\right)^\dagger=\lambda^*\bra{u} = \bra{u}\lambda^* = \bra{\lambda u} \]

ya que el producto de un vector por un número es conmutativo.

Al igual que la conjugación compleja, la conjugación adjunta es una involución: su aplicación sucesiva devuelve el vector original

\[ (\ket{u}^\dagger)^\dagger =\bra{u}^\dagger = \ket{u} \]

es decir, $\dagger^2 = I$, el operador identidad.

'definamos un ket'
uket=np.array([[1+1j],[2-3*1.j]])
display(array_to_latex(uket, prefix =  r'|u \rangle ='))

'el bra asociado será una fila formada por las componentes conjugadas complejas'
ubra=uket.conj().T

display(array_to_latex(ubra, prefix =  '\langle u| =') )

\[\begin{split} |u \rangle = \begin{bmatrix} 1 + i \\ 2 - 3 i \\ \end{bmatrix} \end{split}\]

\[\begin{split} \langle u| = \begin{bmatrix} 1 - i & 2 + 3 i \\ \end{bmatrix} \end{split}\]

Bases#

Definición:

En un espacio vectorial $V$ de dimensión $N$ una base es una colección de $N$ vectores $\{\ket{e_1},...,\ket{e_N}\}$ tales que, cualquier vector $\ket{v}\in V$ se puede expresar como una combinación lineal de ellos

\[ \ket{v} = \sum_{i=1}^N v_i \ket{e_i} \]

Los coeficientes $v_i$ son las componentes de $\ket{v}$ en la base dada.

Existen infinitas bases en un espacio vectorial. Podemos escoger una de ellas y asociarle el siguiente conjunto de columnas

\[\begin{split} |e_1\rangle \sim \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}~~~~~~~ |e_2\rangle \sim \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}~~~~~~~~~ \cdots ~~~~~~~~ |e_{N-1}\rangle \sim \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\\\vdots \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}~~~~~~~ |e_N\rangle \sim \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\0\\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{split}\]

Cualquier vector, escrito como una combinación lineal de sus elementos adquiere la representación usual

\[ |u\rangle ~=~ {u_1} |e_1 \rangle + {u_2} | e_2\rangle +... + {u_{ N}}|e_{ N}\rangle~=~ \sum_{i=1}^N {u_ i} |e_i\rangle \,\sim \]

\[\begin{split} \sim~ {u_1} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \,+\,{u_2} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}~+~ ... ~+ ~ {u_{N-1}} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\\\vdots \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+ \,{u_N}\, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\0\\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}~~~= ~~~ \begin{pmatrix} {u_1} \\ {u_2} \\{u_3}\\ \vdots \\ \,{u_{N-1}}\, \\ {u_{N}} \end{pmatrix} \end{split}\]

Podemos usar la clase Statevector de qiskit para tener una expansión en la base $\{\ket{e_i}=\ket{b(i)}\}$, donde $b(i)$ es la representación binaria del índice $i$. Por ejemplo $b(3) = 11$.

from qiskit.quantum_info import Statevector
uket=np.array([[ 1.+1.j], [ 2.-3.j],[ 2.+2.j],[-1.-1.j]])
display(array_to_latex(uket))

Statevector(uket).draw('latex')

\[\begin{split}\begin{bmatrix} 1 + i \\ 2 - 3 i \\ 2 + 2 i \\ -1 - i \\ \end{bmatrix} \end{split}\]

\[(1 + i) |00\rangle+(2 - 3 i) |01\rangle+(2 + 2 i) |10\rangle+(-1 - i) |11\rangle\]

Espacio de Hilbert#

Vamos a definir una nueva operación que involucra a parejas de vectores

Producto Escalar#

Definición:

El producto escalar de dos vectores $\ket{u}$ y $\ket{v}$ es un número complejo $a\in{\mathbb C}$
que denotamos braket

\[a \equiv \braket{u}{v} \]

si verifica las propiedades siguientes:

$~~~$- linealidad: $\to \bra{u}\big(\ket{v}+\ket{w}\big) = \braket{u}{v} + \braket{u}{w}$

$~~~$- hermiticidad: $\to \braket{v}{u} = \braket{u}{v}^*$

$~~~$- positividad: $\braket{u}{u} >0$ para todo ket $\ket{u}\neq 0$

$~~~$- no-degeneración: $~$ si $\braket{u}{v} = 0$ para todo $\bra{u}$, entonces necesariamente $\ket{v}=0$

Esta operación convierte a un espacio vectorial en una estructura matemática mucho más interesante, un espacio de Hilbert

Definición:

un espacio de Hilbert, ${\Hil}$, es un espacio vectorial dotado de una operación interna denominada producto escalar.

Combinando ambas propiedades, el producto escalar también es lineal en el primer argumento

\[(\bra{u}+\bra{w})\ket{v} = \braket{u}{v} + \braket{w}{v}\]

Observar la propiedad de hermiticidad. Es consistente con la conjugación adjunta

\[ \braket{u}{v}^* = \braket{u}{v}^\dagger = \braket{v}{u} \]

Hemos usado que $\bra{u}^\dagger = \ket{u}$ y $\ket{v}^\dagger = \bra{v}$ pero le hemos añadido una regla más: al tomar el mapa adjunto es necesario invertir el orden de los elementos. De no haber seguido esta regla, habríamos obtenido un resultado erróneo

\[ \braket{u}{v}^\dagger \to \ket{u}\bra{v} \]

que no es ni siguiera un número complejo.

Norma#

Una norma es un una función real $\|\cdot\| : \Lin(\Hil) \to {\mathbb R}$ con las siguientes propiedades

ser definida positiva $\|A\|\geq 0$ con $\| A\| = 0 \Leftrightarrow A= 0$
homogeneidad $\|\lambda A\| = |\lambda| \|A\|$
triangle inequality. $\|A+B\| \leq \| A\| + \|B\|$

Un espacio de Hilbert es, automáticamente un espacio normado. La positividad del producto escalar de un vector por sí mismo permite definir su norma.

\[ \|\ket{v}\| = \sqrt{\braket{v}{v}} \]

Notar

el único vector que tiene norma nula en un espacio de Hilbert es el elemento neutro

\[ \braket{v}{v} = 0 ~~~ \Leftrightarrow ~~~\ket{v} = 0 \]

Distancia#

Dados dos elementos $\ket{u}$ y $\ket{v}$ de $\Hil$, podemos definir la distancia entre ellos como la norma de su diferencia

\[ d(\rule{0mm}{5mm}\ket{v},\ket{w}) = \| \ket{v}-\ket{w}\| \]

En particular tenemos las dos propiedades siguientess

$d(\ket{v}, \ket{w}) = d(\ket{w}, \ket{v})$
$d(\ket{v}, \ket{v}) = 0$

Base ortonormales#

Hasta ahora, a los vectores de una base $\{\ket{e_i}\}$ sólo se les ha pedido que sean $N$ vectores linealmente independientes, donde $N$ es la dimensión del espacio vectorial $\V$. Sólo de esta manera podemos garantizar que cualquier vector puede desarrollarse en la forma $$ \ket{v} = \sum_{i=1}^N v_i \ket{e_i} $$

Ahora que tenemos un producto escalar tiene sentido calcular el de dos elementos cualesquiera. Estos números complejos pueden acomodarse en una matriz $C_{ij}= \braket{e_i}{e_j}$ que será propia de cada base. Hay una especialmente importante en la que $C_{ij} = \delta_{ij}$ es la matriz identidad

Definición:

Una base ortornormal se caracteriza por la siguiente lista de productos escalares

\[ \braket{e_i}{e_j} = \delta_{ij} \]

Es decir, por un lado, dos elementos distintos de la base son ortogonales $\braket{e_1}{e_2} = 0$.

Por otro, todos están normalizados $ \| e_i \| = \sqrt{\braket{e_1}{e_1}} = \sqrt{1} = 1$.

En este curso siempre supondremos que las bases con las que trabajamos son ortonormales. Ello no supone ninguna restricción, como afirma el siguiente teorema

Teorema: Teorema de Gram-Schmidt

Dada una base general $\{\braket{f_i}{f_j}\neq \delta_{ij}\}$ de vectores no ortonormales, existe una procedimiento iterativo (de Gram-Schmidt ) para construir, a partir de ella, una nueva base ortonormal $\{\braket{e_i}{e_j}\}=\delta_{ij}$.

Trabajar en bases ortonormales simplifica mucho el álgebra. Por ejemplo dado un vector $\ket{v} = \sum_{i=1}^N v_i \ket{e_i}$ escrito en una base ortonormal, la componente $v_i$ se extrae mediante la proyección ortogonal

\[ \boxed{ v_i =\braket{e_i}{v}} \]

Ejercicio

Verifica esta expresión

En una base ortonormal, calcular el valor de un producto escalar $a=\braket{u}{v}$ es muy simple

\[\begin{split} \begin{eqnarray*} a = \braket{u}{v}&=& \left(\sum_{i}u_i^*\bra{e_i}\right)\left(\sum_{j}v_j\ket{e_j} \right) = \sum_{ij} u_i^* v_j \braket{e_i}{e_j} = \sum_{ij} u_i^* v_j \delta_{ij} \\ &=&\sum_{i} u_i^* v_i = \begin{pmatrix} {u_1^*} & {u_2^*} & \cdots & {u_N^*} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} {v_1}\\ {v_2}\\ \vdots \\ {v_N} \end{pmatrix} \end{eqnarray*} \end{split}\]

Notar

La expresión de la izquierda $a = \braket{u}{v}$ no hace referencia a ninguna base. Por tanto, el resultado $\sum_{i=1}^n{ u_i^* v_i} $ debe ser independiente de la base que utilizamos para representar estos vectores mediante sus componentes $u_i$ y $v_i$.

Subrayamos la importancia de esto: $\braket{u}{v}$ puede ser calculado en la base más conveniente.

Ejercicio (explícaselo a tu ordenador)

Escribe una función $braket(u,v)$ que calcule y devuelva la el producto escalar $\braket{u}{v}$, y, con ella, una función $norm(u)$ que calcule la norma $\| \ket{u}\|$. Verifica que $\| \ket{u}\| = \sqrt{\braket{u}{u}}$ coincide con el resultado que da la función $np.linalg.norm$.
Escribe una función $random\_ket$ que genere un vector normalizado $\ket{v}\in\Hil$ de dimensión $d$.

Vectores

Contents

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Espacio Vectorial Complejo#

Definición#

Conjugación adjunta#

Bases#

Espacio de Hilbert#

Producto Escalar#

Norma#

Distancia#

Base ortonormales#