Jun 11, 2024 | 3 min read

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Teoría de probabilidades para todas las edades#

\( \newcommand{\bra}[1]{\langle #1|} \) \( \newcommand{\ket}[1]{|#1\rangle} \) \( \newcommand{\braket}[2]{\langle #1|#2\rangle} \) \( \newcommand{\i}{{\color{blue} i}} \) \( \newcommand{\Hil}{{\mathbb H}} \)

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import sys
sys.path.append('../../')
import macro_tQ as tQ

import numpy as np

Variables aleatorias#

Denotamos con \((X,p(X))\) una variable aleatoria donde

  • \(X\) es el espacio muestral de valores \(\{x_1, x_2,....,x_n\}\) que pueden aparecer en una consulta, o tirada

  • \(p(X)\) es la distribución de probabilidad.

Distribución de probabilidad#

Una distribución de probabilidad es una función \(x\to p(x)\) de los elementos del espacio muestral real \(x\in X\) en los números reales \(p(x)\in \mathbb{R}\). La probabilidad de un suceso imposible es \(p(x) = 0\), y la de un suceso seguro es \(p(x) = 1\).

La función \(p(x)\) que debe verificar las dos condiciones siguientes para ser una distribución de probabilidad

\[ p(x) \in [0,1]~~~~~~~,~~~~~~~~\sum_{x\in X }p(x) = 1 \]

Es decir, la suma de probabilidades de todos los sucesos posibles debe ser la unidad, porque es la probabilidad de obtener algún miembro del espacio muestral.

Definición:

Media: la media de una variable aleatoria viene dada por la expresión

\[ \overline X = \sum_i x_i p(x_i) \]

Varianza: la varianza, \(\sigma_X^2\), es la media de la desviación cuadrática \(\overline{(x_i - \overline{X} )^2}\)

\[ \sigma^2_X = \sum_j (x_j-\overline{X})^2 p(x_j) = \overline{X^2} - \overline{X}^2 \]

La cantidad \(\sigma_X\) se denomina desviación estándar

\[ \sigma_X = \sqrt{\overline{X^2} - \overline{X}^2} \]
def random_prob_dist(n):
    p = np.random.rand(n)
    p /= np.sum(p)
    return p

random_prob_dist(10)
array([0.06550321, 0.00045257, 0.22756174, 0.07922132, 0.19390968,
       0.03356594, 0.16785773, 0.08862708, 0.10628265, 0.03701809])

La conexión estadística#

  • Nuestro conocimiento del mundo se basa en la realización de experimentos, el resultado de los cuales es (empíricamente) aleatorio.

  • Podemos pensar en el hecho de medir un sistema como la consulta de una variable aleatoria \((X,p(X))\) donde la distribución de probabilidad incorpora todo nuestro conocimiento acerca del sistema

Frecuencias e Histogramas#

Cualquier consulta o medida da lugar a una muestra finita de valores \(A_N = (a_1,a_2,...,a_N)\) donde \(a_i\in \{x_1,...,x_n\}\) pueden repetirse en la muestra, con números de aparición \(n(x_i)\) tales que \(n(x_1) + \ldots + n(x_p) = N\).

Estos datos se pueden agrupar en intervalos o bins que eliminen cierta precisión numérica.

Por ejemplo, si truncamos nuestra precisión a las décimas de unidad, \(13.10\) y \(13.19\) pertenecerán al mismo bin.

Un histograma es un diagrama en el que, por cada bin, hay una columna, cuya altura representa el número de sucesos que pertenecen a dicho bin

En el siguiente ejemplo, puedes ver cómo, la misma lista de datos conduce a distintos histogramas si cambias la anchura de los bins

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

datos1 = [12.2, 15.3, 13, 12.8, 18.1, 13, 20, 19.5, 20.2, 12.1, 12.4, 13.2, 17.9, 14.1, 15, 13.4, 11.1, 14.6, 13, 17.4, 19.2]
datos2 = np.linspace(0.,10.,200)
datos  = datos1

anchura_bins = 1.# para modificar la anchura de los bins
num_bins = int((max(datos)-min(datos))/anchura_bins) #número de bins
bins_list = np.linspace(min(datos), max(datos) + 1 ,num_bins) #calculamos los extremos de los intervalos


counts, bins, ignore = plt.hist(x=datos, bins = bins_list, color='#F2AB6D', rwidth=0.85)
plt.xlabel('Datos')
plt.ylabel('Frecuencia')
plt.xticks(bins_list)

plt.show()
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Ley de los grandes números#

Las fracciones relativas tienden en el límite \(N\to \infty\) a la probabilidad relativa de aparición de \(x_i\) en una sola tirada

\[ f_N(x_i) = \frac{n(x_i)}{N}~~~\stackrel{N\to\infty}{\longrightarrow}~~~{p(x_i)} \]

Experimentalmente sólo tenemos acceso a las frecuencias relativas \(f_N(x_i)\) para un \(N\) grande aunque finito.

Igualmente, nuestro conocimiento de la media \(\overline X\) y la varianza \(\sigma_X^2\) siempre es aproximado, y se realiza a través de las medias y varianzas muestrales

\[\begin{split} \begin{eqnarray*} \overline{A}_N = \sum_i x_i f_N(x_i)~~~&\stackrel{N\to\infty}{\longrightarrow}&~~~ \overline{X}\\ \sigma_{A_N}^2 = \sum_{i} (x_i - \overline{A}_N)^2 f_N(x_i) ~~~&\stackrel{N\to\infty}{\longrightarrow}&~~~ \sigma_X^2 \end{eqnarray*} \end{split}\]

Distribuciones frecuentes#

La distribución de Bernouilli#

Una variable aleatoria de Bernouilli \(X=(x,p(x))\) tiene dos posibles resultados

  • éxito \(\to x=1\) con probabilidad \(p(1) = p\)

  • fracaso \(\to x=0\) con probabilidad \(p(0) = 1-p\)

Podemos calcular fácilmente

\[\begin{split} \begin{eqnarray} \overline X &=& \sum_i x_i p_i =1 \cdot p + 0\cdot (1-p) = p\\ \sigma^2 &=& \sum_i (x-\overline X )^2p_i = (1-p)^2 p +(0-p)^2(1-p) = p(1-p) \end{eqnarray} \end{split}\]

Distribución binomial#

La variable aleatoria binomial \(X = (x,p(x))\) se define como

\[ x = \hbox{número de $éxitos$ obtenidos en $n$ pruebas de Bernouilli sucesivas } \]

Claramente \(x \in (0,1,2,...n)\).

Ahora es muy sencillo obtener la probabilidad de un suceso con \(x\) éxitos

\[\begin{split} p(x) = \begin{pmatrix}n\\ x\end{pmatrix} p^x (1-p)^{n-x} \end{split}\]

donde el primer factor tiene en cuenta las posibles ordenaciones en que aparecen \(x\) éxitos en \(n\) intentos.

Un cálculo un poco más largo permite ver que, ahora

(12)#\[\begin{eqnarray} \overline X &=& np\\ \rule{0mm}{7mm} \sigma^2 &=& n p(1-p) \end{eqnarray}\]

La distribución normal#

Vamos a estudiar la distribución normal centrada en \(\mu\) y con anchura \(\sigma\)

\[ p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp \left({-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\right) \]

Nos encontramos ante una variable aleatoria con un espacio muestral continuo \(x\in (-\infty,+\infty)\).

(13)#\[\begin{eqnarray} \overline{X} &=& \int_{-\infty}^{+\infty} xp(x) dx = \mu \\ \overline{(x-\overline X)^2} &=& \int_{-\infty}^{+\infty} (x-\mu)^2 p(x)dx =\sigma^2 \end{eqnarray}\]
'generamos una instancia de la distribución normal'
mu, sigma = 0, 0.1 
N = 10000
s = np.random.normal(mu, sigma, N)
import matplotlib.pyplot as plt


'generamos una instancia de histograma con un número de bins'
num_bins=100
counts, bins, ignore = plt.hist(s, num_bins, density=True)
'extraemos los bins para hacer el plot de la funcion analítica'


'dibujamos la función analítica para comparar'
def gaussian(x,mu,sigma):
    return 1/(sigma * np.sqrt(2 * np.pi))*np.exp( - (x - mu)**2 / (2 * sigma**2) )
    
plt.plot(bins, gaussian(bins,mu,sigma),linewidth=2, color='r')

plt.show()
../../../_images/6f42f8bea05dbb2921b48667fac4626a630e684d6280ea3352af64be700090ac.png

En el límite de número de eventos \(N\to \infty\), el histograma y la curva matemática confluyen.

Probabilidades combinadas#

Las probabilidades combinadas son la base de las correlaciones. Es aquí donde la Mecánica Cuántica predice resultados diferentes a la Mecánica Clásica.

Ahora vamos a examinar variables aleatorias formadas por dos espacios muestrales \(X\) e \(Y\). Dependiendo de la forma en que combinemos la observación de cada una tendremos distintas distribuciones de probabilidad

Probabilidad combinada#

La probabilidad combinada \(p(X,Y)\) asocia un número \(p(x,y)\) a la probabilidad de observación conjunta de \(x\) e \(y\).

Hay que tratar las parejas de eventos como un solo evento \(a = (x,y)\). Por eso, la condición de normalización ahora es

\[ \sum_a p(a) = \sum_{xy} p(x,y) = 1\, . \]

La suma parcial sobre una de las dos variables conduce a sendas distribuciones marginales

\[ q(x) = \sum_{y} p(x,y) ~~~~~~~~~ \tilde q(y) = \sum_{x} p(x,y) \]

Si la probabilidad combinada es el producto de las probabilidades de los miembros del par, decimos que \(X\) e \(Y\) son variables aleatorias independientes

\[ p(x,y) = p(x) p(y) \]

La distribución de cada variable coincide con la que se deduce de marginalizar la otra

\[ \sum_y p(x,y) = p(x)~~~~,~~~~\sum_x p(x,y) = p(y) \]

Probabilidad condicionada#

La distribución de probabilidad condicionada \(p(X|Y)\) asigna un número \(p(x|y)\) a la probabilidad de encontrar un suceso \(X=x\) una vez sabemos que \(Y=y\) ha sido el resultado de consultar \(Y\).

La manera de acceder experimentalmente a estas distribuciones, es efectuar un muestreo \((a_i,b_i)\), \(i=1,...,N\) de valores de \((X,Y)\) y seleccionar sólo aquellos sucesos donde \(b_i = y\) un valor concreto de \(Y\).

Teorema de Bayes#

Las probabilidades condicionales y combinadas no son independientes. Se relacionan de la forma siguiente

\[ p(x,y) = p(x|y)p(y) = p(y|x) p(x)= p(y,x) \]

La segunda igualdad conduce al teorema de Bayes

Teorema: de Bayes

\[ p(x|y) = p(y|x) \frac{p(x)}{p(y)} \]